Evaluaciones de 3 B

marzo 2, 2015

escudo-del-colegio1[1]

Apellido y nombre Nota
1 Acuña Rumie Maria Belen
2  Beltran de la Silva Ana Valentina
3  Brandan Cheein Mayra Sabrina
4  Caceres Luciana Rocio
5  Campos Benjamin Santiago
6  Cantos Jorge Maria Belen
7  Castaño Rita del Carmen
8  Contreras Erika Romina
9  Chazarreta Juan Manuel
10  De la Rua Ariana
11  Falcione Candela
12  Gerez Gaston Jesus
13  Gonzalez Ferreyra Alex Eduardo
14  Gonzalez Martinez Juan Ignacio
15  Ledesma Mauro Ivan
16  Maglio Delgado Antonella
17  Medina Salomon Maximo
18  Moreta Maria Josefina
19 Mulki Ignacio
20 Occhionero Franco Nicolas
21 Piccoli Andrea
22 Rafael Corpus Guillermina
23   Rubio Rodrigo
24  Saad Becaria Nabila
25 Santucho Santiago Martin
26  Sonsogni Fabrizzio
27  Tarchini Rocio Abigail
28  Trejo Selene Aylen
29 Vasquez Juan Maria
30 Zavaleta Gonzalo
31 Zuain Jorge

Observación: el profesor advierte a los alumnos que las notas publicadas se ratifican una vez que se entreguen las pruebas escritas, ya que puede surgir un error involuntario de parte del mismo

Evaluaciones de 5 A

marzo 2, 2015

Apellido y nombre Nota
1 Acuña Rumie José B
2 Amado Cura Eduardo
3 Argañaraz  Ignacio
4 Baleani Cristian Emanuel
5 Bellido Germán
7 Ciliberti Aldana Stefania
9 Corbalan Lastra Agustina
11 Domínguez Nicolás
12 Herrera Juan Ignacio
13 Ludueña Milagros
14 Maciel Diego
16 Medina Mario José
17 Olivera Alejo
18 Padilla Juan Ignacio
19 Paz Ferreyra Luciano
20 Ruiz Iván Federico

trabajo con geogebra

Observación: el profesor advierte a los alumnos que las notas publicadas se ratifican una vez que se entreguen las pruebas escritas, ya que puede surgir un error involuntario de parte del mismo

Evaluaciones de 4 E

marzo 2, 2015

escudo-del-colegio1[1]

 

Apellido y nombre Nota
1 Alcaide Milagros Belen
2  Anglade Sofia Lourdes
3  Bianchi Martin Ignacio
4  Cardozo Guillermo I
5  Cejas Maria Agustina
6  Fernandez Durgam Valentina
7 Fernandez Garcia Luciano
8  Fiad Zoe
9  Gomez Olivera Patricio
10  Gonzalez Juan Cruz
11  Guzman Domingo Emanuel
12 Guzman Sofia Narella
13  Juri Nahiara
14  Lastra Joaquin Hugo
15 Lujan Lara Milagros
16  Moran Leyva Joaquin
17 Muratore Jaime Matias
18  Ocaranza Martinetti Raul
19 Pacheco Maria Agustina
20 Pacheco Maria Cielo
21  Peralta Lucas Elias
22  Peralta Valeria Alejandra
23  Rios Medina Luciana
24  Risso Patron Isaias
25  Roger Farias Ncolas
26 Rojas Gabriel Alejandro
27 Salomon Persico Francisco
28 Sanchez Marcos Jose Maria
29 Sayago Santiago Martin
30  Silva Lautaro Ariel
31  Suarez Corneli Dante Agustin
32  Uequin Rodrigo Exequiel
33  Vittar Maximo Fernando
34  Zanghellini Pablo Hernan
35

 

link de descarga: ecuaciones cuadraticas

Observación: el profesor advierte a los alumnos que las notas publicadas se ratifican una vez que se entreguen las pruebas escritas, ya que puede surgir un error involuntario de parte del mismo

Evaluaciones de 4 B

marzo 2, 2015

escudo-del-colegio1 [1]

 

NORTE Apellido y nombre Nota
1 Achaval Andrés
2 Alustiza Cisneros Lucas
3 Arias Gustavo Joaquín
4 Aliaga Sofia
5 Banegas Florencia
6 Bauque Agustina
7 Campos Gaviotti Antonella
8 Cruz Lafi Santiago Ahmed
9 Coronel Candela
10 Cantos Ainete de Gaston
11 Duran Brian Alexis
12 De Grandi Sofia
13 Díaz María Candela
14 Encalada Oriana
15 Sebastián Ferreyra
16 Franzzini Franco
17 Goyeneche Julieta
18 Gómez Domínguez Nicolas
19 Jiménez Agustina
20  Brenda Jiménez
21 Fabricio Juarez
22 Lescano Selena
23 Nicolás Llanos
24 Martínez Carmona Agustín
25 Muratore Prado Lara
26 Maud Natalia
27 Pedemonte Juan Bautista
28 Pega Kvapil Maria M
29 Paz Ferreyra Julián
30 Paz Diaz Maria del Pilar
31 Pérez Salvatierra Pilar M
32 Reddi Giuliano Mauricio
33 Sialle Leandro
34 Pablo Sonzogni
35 Uardene Ana
36 Uequin Micaela
37 Vetorazzo Matías Javier
38 Cristian Vittar
39 Villanueva Valentina
40 Zovich Alemán

vincular de Descarga: Ecuaciones cuadraticas

OBSERVACIÓN: El Profesor Advierte a Los Alumnos Que las notas publicadas se ratifican Una Vez Que se entreguen las Pruebas escritas, ya Que PUEDE SURGIR error involuntario de parte del Mismo

Evaluaciones de 4 D

marzo 2, 2015

escudo-del-colegio1 [1]

norte Apellido y nombre Nota
1 Acosta Florencia
2 Valentina Barraza
3 Beltrán Vega Pablo
4 Bolañez Alejandrina
5 Bruna Martin
6 Basbus Fabricio
7 María Carabajal
8 Cabanes Lujan
9 Agustín Carmona
10 Cornet Rocio
11 Elena Crespo
12 Luna Aldana
13 Del Castaño Gabriel
14 Diganchi Cesia Berenice
15 Domínguez Ayunta Gonzalo
16 Ezcurra Valentina
17 Farías Martina
18 Gómez Ailen
19 Grimaldi Candida Sofia
20 Herrera Agustina Sol
21 Marisol Ibarra
22 Martínez Aldana
23  Camila Medina
24  Monetti Macarena Giménez
25  Javier Ignacio Nuñez
26  orieta Marianela
27  Orieta Aldana Aylin
28 Pagani Chiara
29  Paz Sayes Darío Lucca
30  Pereira Abril Taya
31 Prado Florencia
32  Rodríguez Pilar Márquez
33  Roldan Camila
34  Santos Victoria
35  Stancampiano Mikaela
36  Rodolfo Valentini
37  Yocca Yara

estadistica

OBSERVACIÓN: El Profesor Advierte a los alumnos que las notas publicadas se ratifican una vez Que se entreguen las Pruebas escritas, ya que puede surgir un error involuntario de parte del Mismo

Evaluaciones de 3 A

marzo 2, 2015

 escudo-del-colegio1[1]

 

Apellido y nombre Nota
1  Buitrago Colman Tobias  
2  Bustos Japaze Sergio  
3  Cejas Carolina Agustina  
4  Corvalan Cristian Jose  
5  Costas Maria del uerto  
6  Cuezzo Martina Constanza  
7  Denett Brian Agustin  
8 Dorado Pedano Sophia  
9  Fernandez Gonzalo  
10  Gramajo Maria Gimena  
11  Jugo Robles Matias  
12 Lezana Luna Lautaro  
13  Lopez Gerardo Nicolas  
14  Maldonado Gaston  
15  Martin Balthazar  
16  Medina Santiago Fabian  
17  More Sofia Noemi  
18  Mottola Micaela Belen  
19  Pavon Mario Benjamin  
20  Pedraza Martin Exequiel  
21  Quinteros Rodrigo  
22  Roldan Gonzalo  
23  Salvi Coronel Facundo  
24  Sayago Agostina Giselle  
25  Szanto Curi, Carlos E  
26  Uñates Constanza  
27  Vera Tomas Adrian  
28  Viril coro Facundo Nahuel  

 

 

Observación: el profesor advierte a los alumnos que las notas publicadas se ratifican una vez que se entreguen las pruebas escritas, ya que puede surgir un error involuntario de parte del mismo

Evaluaciónes de 4A

marzo 2, 2015

Ů

Apellido y nombre Nota
1  Autalan Gustavo Julian
2  Alegre Ignacio Agustin
3  Aprile Milagros
4  Bustos Jose Javier
5  Caceres Diaz Cecilia
6  Colovini Valentin
7 Coronel Analia Belen
8  Catan Thamara
9  Cardozo Kendo
10  Carballo Sofia
11  Chavarri Aracelli Ruth
12  Delfino Andy Lenny
13  Diaz Aldana
14  Estanciero Macarena
15 Gonzalez Guillermo
16 Herrera Francisco Jose
17 Juarez Analia Alejandra
18 Quiroga Juarez Pablo
19 Marin Valentina Belen
20 Martinez Santiago Agustin
21 Montoya Maria Florencia
22 Perez Caldo Facundo
23  Robles Luciana Guadalupe
24 Ruiz Milagros R
25  Salina Sofia Antonella
26  Sosa Romero Candela M
 27  Anzani Luis

Observación: el profesor advierte a los alumnos que las notas publicadas se ratifican una vez que se entreguen las pruebas escritas, ya que puede surgir un error involuntario de parte del mismo

 

Factorizacion de Polinomios

marzo 23, 2013

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

  • Sacar factor común

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes.

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar

¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto

 

y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado.

Ejemplos:

 

  • Factor común por grupos

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas.

 

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

Saco factor común “4” en el primer y segundo término; y factor común “x” en el tercer y cuarto término. Los dos “resultados” son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (“Resultado desordenado”)

4a +  4b  +  xb  +  xa =

4.(a + b) +  x.(b + a) =

4.(a + b) +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

En el primer paso el “resultado” quedó “desordenado”: (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

 

EJEMPLO 3: (Con términos negativos)

4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los “resultados” quedan iguales no hay problema.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Con términos negativos y “Resultado desordenado”)

4a  -  4b  -  xb  +  xa =

4.(a - b)  +  x.(-b + a) =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

      (a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a – b)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Resultados “opuestos”)

4a  -  4b  -  xa  +  xb =

4.(a - b)  +  x.(-a + b) =

4.(a - b)  -  x.(a - b) =

       (a - b).(4 - x)

En el primer paso quedaron los signos opuestos para los dos términos. Pero en el segundo paso, “saco el menos afuera y hago un cambio de signos” (lo que en realidad es Sacar Factor Común negativo)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

 

EJEMPLO 6: (Resultados “opuestos” y “desordenados”)

4a  -  4b  +  xb  -  xa =

4.(a - b)  +  x.(b - a) =

4.(a - b)  -  x.(-b + a) =

4.(a - b)  -  x.(a - b) =

      (a - b).(4 - x)

Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto cada término. En el segundo paso, “saco el menos afuera y hago un cambio de signos” (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a – b)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Todos los términos son negativos)

-4a  -  4b  -  xa  -  xb =

-4.(a + b)  -  x.(a + b) =

      (a + b).(-4 - x)

En estos casos es casi mejor sacar directamente Factor Común negativo (¿Cómo sacar Factor Común negativo?) Y sino también, en la “EXPLICACIÓN”, también muestro cómo se haría sacando Factor Común positivo.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 8: (Agrupando términos no consecutivos)

4x2a  +  3y  +  12ax  +  ya =

4ax.(x + 3)  +  y.(3 + x) =

4ax.(x + 3)  +  y.(x + 3) =

      (x + 3).(4ax + y)

No siempre podemos agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que haber Factor Común entre los que agrupamos, y el “resultado” debe dar igual (o desordenado u opuesto, como se ve en los ejemplo anteriores).
En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

EJEMPLO 9: (Polinomio de 6 términos)

4a - 7x2a + ya  +  4z - 7x2z + yz =

a.(4 - 7x2 + y) +  z.(4 - 7x2 + y) =

       (4 - 7x2 + y).(a + z)

Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos. (Para verlo también de la otra forma, consultar en la EXPLICACIÓN)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9

EJEMPLO 10: (Cuando parece que no se puede aplicar el caso, pero se puede)

4x3  -  4x2  +  x - 1 =

4x2.(x - 1)  +  x - 1 =

4x2.(x - 1)  +  1.(x - 1) =

     (x - 1).(4x2 + 1)

Parece que no se pudiera aplicar el caso, porque entre la x y el 1 que quedaron no hay Factor Común. Sin embargo el caso se puede aplicar, sólo se trata de saber reconocer la situación. En el paso 2 es donde se vislumbra la posibilidad de usar el caso, por el resultado que dio la primera agrupación: (x – 1), que es igual a lo que quedó sin agrupar.

  • Diferencia de cuadrados

Se basa en la siguiente fórmula:

EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 – 9 = (x + 3).(x – 3)

x     3

Los dos términos son cuadrados. Las “bases” son x y 3. Se factoriza multiplicando la “suma de las bases” por la “resta de las bases”.

EJEMPLO 2: (Con dos letras)

x2 – y2 = (x + y).(x – y)

EJEMPLO 3:

x6 – 4 = (x3 + 2).(x3 – 2)

EJEMPLO 4:

36x2 – a6b4 = (6x + a3b2).(6x – a3b2

 

otros ejemplos de factorización por este método:

 

  • Cuadrado de un binomio:

    es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

 

(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

(2x − 3)2 = (2x)2 + 2 · 2x · (-3) + (-3)2 = 4x2 − 12 x + 9

 

 

  • Trinomio Cuadrado perfecto

    : Es igual al cuadrado de un binomio

Se basa en las siguientes fórmulas

y

Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

Otros ejemplos de factorización por este método:

 

·        Cuatrinomio Cubo perfecto

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

(- a + b)3 = – a3 + 3 · a2 · b – 3 · a · b2 + b3

(-a – b)3 = – a3 – 3 · a2 · b – 3 · a · b2 – b3

 

  • Teorema de Gauss

EJEMPLO 1: (Con coeficiente principal distinto de 1)

2x3 – 3x2 – 11x + 6 = (x + 2).(x – 3).(2x – 1)

Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6

Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2

Posibles raíces del polinomio: k/a

Entonces pueden ser raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2

El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios: (x – 1),
(x + 1), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x – 3), (x + 6), (x – 6), (x + 1/2),

(x – 1/2),(x + 3/2) ó (x – 3/2). Es decir (x – a), siendo “a” una de esas posibles raíces.

Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:

  | 2  -3  -11   6
  |
  |
-2|    -4   14  -6 
    2  -7    3 | 0

Cociente: 2x2 – 7x + 3           Resto: 0

Por ahora, la factorización queda: (x + 2).(2x2 – 7x + 3).

En el polinomio de segundo grado que quedó puedo volver a buscar raíces con Gauss, o aplicar el Séptimo Caso (usar la cuadrática). Voy a seguir con Gauss:

2x2 – 7x + 3 =

Posibles raíces: 1, -1, 3, -3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2

Cuando pruebo dividir por (x – 3), encuentro que el resto dá 0:

  | 2  -7   3
  |
  |
 3|     6  -3 
    2  -1 | 0

Cociente: (2x – 1)      Resto: 0

Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorización queda así:

(x + 2).(x – 3).(2x – 1)

Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio entre los divisores del término independiente, y en los cocientes que forman esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir al polinomio por (x – raíz), división que tiene como resto 0. Luego, como en el Sexto Caso, se factoriza usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE. (Nota: Para averiguar si un número es raíz del polinomio uso la división, porque así lo suelen hacer en el Nivel Medio, pero se puede hacer de otra forma)
Para más información consultar en  CONCEPTOS GENERALES DEL CASO

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Coeficiente principal igual a “1”)

x4 – 15x2 + 10x + 24 = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 4)

k = 1, -1, 2, – 2, 3, – 3, 4, – 4, 6, – 6, 8, – 8, 12, -12, 24, – 24

a = 1, -1

Posibles raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24, -24

Pruebo dividir por (x + 1) y el resto dá 0:

   | 1  0  -15  10  24
   |
   |
 -1|   -1    1  14 -24 
     1 -1  -14  24 | 0

Va quedando: (x + 1).(x3 – x2 – 14x + 24)

Ahora factorizo el cociente x3 – x2 – 14x + 24. Las posibles raíces son las mismas, porque es el mismo término independiente. Pruebo dividir por (x -2) y el resto dá cero:

   | 1  -1  -14   24
   |
   |
  2|     2    2  -24 
     1   1  -12 |  0

Ahora va quedando: (x + 1).(x – 2).(x2 + x – 12)

Factorizo el último factor, que es de segundo grado. Las posibles raíces son los divisores de 12: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12. Pruebo dividir por (x – 3):

   | 1  1  -12
   |
   |
  3|    3   12  
     1  4 |  0

La factorización queda así:

(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 4)

Como el coeficiente principal es igual a 1, no hace falta calcular las distintas raíces con la fórmula k/a. Porque k/1 = k. Entonces las posibles raíces son todas las posibles k, es decir, solamente los divisores del término independiente, sin tener en cuenta al coeficiente principal.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

videos relacionados:

http://www.youtube.com/watch?v=q0r8Pa1eV9Q

  • SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

EJEMPLO 1: (Suma de Potencias Impares)

x5 + 32 = (x + 2).(x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)
x        2

  | 1  0  0  0  0  32
|
|
-2|   -2  4 -8  16 -32
1 -2  4 -8  16 |0

Cociente: x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16

Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2).  Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.
Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16), es decir: “la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división”.

Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras.

La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Resta de Potencias Impares)

x3 – 8 = (x – 2).(x2 + 2x + 4)

x     2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Resta de Potencias Pares)b4 – 81 = (b – 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó (b + 3).(b3 – 3b2 + 9b – 27)

b      3

En las restas de potencias pares se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Suma de Potencias Pares)

x4 + 16 = x4 + 16

En general no se factorizan las sumas de Potencias pares. Porque algunas no son divisibles ni por la suma ni por la resta de las bases. Pero las potencias que son múltiplo de 3, 5, u otros números impares, sí se pueden factorizar. Aunque, como es un poco diferente su factorización, no lo suelen ver en el Nivel Medio. Consultar en EJEMPLO 12 un ejemplo de esto.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Con el “1”)

x7 + 1 = (x + 1).(x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x + 1)

x     1

No hay que olvidar que el “1” puede ser “cualquier potencia”. Así que siempre puede ser tomado como base de cualquier potencia.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (Con dos letras)

x7 – y7 = (x – y).(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6)

x     y

La división por Ruffini se complica un poco en estos casos. Hay que tratar a la segunda letra como si fuera un número.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Con fracciones)

x6 – 1/64 = (x – 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32) 

x     1/2

1/64 es una potencia sexta, ya que (1/2)6 es igual a 1/64.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 8: (Con números decimales)

x5 + 0,00001 = (x + 0,1).(x4 – 0,1x3 + 0,01x2 – 0,001x + 0,0001)

x          0,1

También se puede hacer pasando los números decimales a fracción (Ver en la EXPLICACIÓN) 

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio)

EJEMPLO 9: (Con el número en el primer término)

-125 + x3 = x3 – 125 = (x – 5).(x2 + 5x + 25) 

                  x     5

En un caso como éste, puedo cambiar el orden para que quede la letra en el primer término, y así queda listo para aplicar la división de Ruffini.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9

EJEMPLO 10: (Con los signos equivocados)

-x6 + 64 = -(x6 – 64) = –(x – 2).(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32) ó
x      2
= –(x + 2).(x5 – 2x4 + 4x3 – 8x2 + 16x – 32)

En realidad es un ejercicio combinado. Primero hay que “sacar el menos afuera”, o “sacar factor común -1”.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10

EJEMPLO 11: (Con un número multiplicando a la primera letra)

8x3 +  27 = 8.(x3 + 27/8) = 8.(x + 3/2).(x2 – 3/2 x + 9/4)

x      3/2

El polinomio no está normalizado. Para dividir por Ruffini,  primero hay que normalizar el polinomio y luego aplicar el caso a lo que queda. Pero también existe una manera de hacer la división por Ruffini sin normalizar antes, aunque hay que saber un “truquito”. Se explica de todas las maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11

EJEMPLO 12: (Suma de potencias pares múltiplos de 3, o de otros números impares)

x6 + 64 = (x2)3 + 43 = (x2 + 4).(x4 – 4x2 + 16)

x2      4

Esta es una suma de potencias pares que sí se puede factorizar. Pero a la potencia sexta hay que verla como potencia tercera, es decir, una potencia impar. En este ejemplo, x6 es potencia tercera, ya que es igual a (x2)3. Y 64 también es potencia tercera, ya que es igual a 43. Entonces, las bases ya no son x y 2, sino x2 y 4. La división no puede hacerse por el método de Ruffini, sino por la división común de polinomios.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12

EJEMPLO 13: (Con letra y número en el segundo término)

x7 + 128a7 = (x + 2a).(x6 – 2ax5 + 4a2x4 – 8a3x3 + 16a4x2 – 32a5x + 64a6)

x       2a

En un ejemplo así se puede aplicar la división de Ruffini, pero es un poco más complicada, como la del EJEMPLO 6, ya que hay 2 letras. Y sino, se puede hacer con la división común o con la Regla para el Sexto Caso.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 13

EJEMPLO 14: (“No se puede hacer con Ruffini”)


a7x7 +  128b7= (ax + 2b).(a6x6 – 2a5x5b + 4a4x4b2 – 8a3x3b3 + 16a2x2b4
32axb5 + 64b6)

ax         2b

Este ejemplo es apropiado para resolverlo con la REGLA PARA EL SEXTO CASO, en vez de hacer la división.  También se puede hacer la división, pero no con la Regla de Ruffini.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 14

http://www.youtube.com/watch?v=rYuh2tt3m6U

NÚMEROS COMPLEJOS

agosto 7, 2012

Un Numero Complejo es una expresión del tipo
z = a + bi
donde a y b son números reales e i es un símbolo, cuyo significado sera aclarado mas
adelante.
Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las so-
luciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación


no tiene soluciones reales. “i” representa la unidad imaginaria

Números imaginarios

Un número imaginario se denota por bi, donde :

b es un número real.

i es la unidad imaginaria.

Entonces la unidad imaginaria es la  i y se designa por la letra i.

i

i

Números complejos en forma binómica

Al número a + ble llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por :

complejos

  • Los números complejos a + bi  y −a − bi se llaman opuestos.
  • Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
  • Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Operaciones de complejos en forma binómica

  • Suma y resta de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

  • Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i= −i

i4 = 1

i22

división

i22 = (i4)5 · i2 = − 1

i27 = −i

  • Multiplicación de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

  • División de números complejos

cociente

división

a continuación podrás ver unos vídeos con ejercicios combinados

Números complejos en forma polar y trigonométrica

complejo

módulo

|z| = r       arg(z) =alfa          z = rα

complejos.

relaciones

Binómica z = a + bi
Polar z = (r/α)
trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

complejo

módulo

argumento

z = 2120º

z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

Calculo del modulo y argumento de un complejo

¿Como pasar de la forma polar a la binómica?

sabiendo que

z = 2120º( forma polar)

ahora, para calcular las dos coeficientes (real e imaginario) se procede de la siguiente forma:

  • coeficiente real

a

  • coeficiente imaginario

b

de esta manera se obtiene :

binómica(forma binómica)

FORMA TRIGONOMÉTRICA

Esta expresión, z = r·(cos & + i·sen &), recibe el nombre de forma trigonométrica de z, donde r es el módulo de z y & su argumento. anteriormente ya pudimos ver como se calculaba el modulo y el argumento, solo hay que representar esos valores en la expresión de la forma trigonométrica

ver ejercitacion en ( seleccionar  el numero de tema 61 y 62)

http://www.logikamente.com.ar/?page=Recursos::Los_84_temas

POLINOMIOS

marzo 13, 2012

En matemáticas, se denomina polinomio a la suma de varios monomios (llamados términos del polinomio). Es una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes de números naturales. Por lo tanto existirán monomios, binomios, trinomios, pero el hecho de que hayan más de estos, se denomina polinomio (consta de más de 3 monomios)

Por ejemplo:

 x^{2} - 4x + 7 \;

es un polinomio, sin embargo:

 x^{2} - 4x +7 x^{\frac{3}{2}}, \qquad  x^{2} - \frac{4}{x} +7

no lo son, porque el primero involucra un exponente fraccionario y el segundo divisiones en la variable (una división entre la variable puede interpretarse como una potencia negativa en la variable).

El polinomio de un sólo término se denomina monomio; el de dos, binomio; el de tres, trinomio; el de cuatro, tetranomio. Cada uno de ellos y de los de mayor número de términos se llama polinomio de “N” términos, siendo “N” el número de términos de que se componga.

La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

 P(x)= a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} +  a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,

por ejemplo:

 P(x)= 7 x^5 + 9 x^4 - 14 x^2 + 6 x - 12 \,

Grado de un polinomio

Se denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de los monomios que lo componen. Así, x2 − 4x + 7 es un polinomio de grado dos; x3 − 4x2 + 3x + 7, de grado tres.

Valor numérico de un polinomio en un punto

Partiendo de un polinomio \scriptstyle P(x), el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor concreto de \scriptstyle x, \scriptstyle x\ =\ b, se obtiene sustituyendo la variable x del polinomio por el valor b y se realizan las operaciones. El resultado de P(b) es valor numérico del polinomio para \scriptstyle x\ =\ b.

P(x) = a_0 x^{0} + a_1 x^{1} + \cdots + a_n x^n

tomará un valor para x = b, de:

P(b) = a_0 b^{0} + a_1 b^{1} + \cdots + a_n b^n

  • Ejemplo:

Dado el polinomio:

 P(x) = 3 x^{2} - 4x + 5 \;

cual es su valor para x = 2, sustituyendo x por su valor, tenemos:

P(2) = 3\cdot 2^{2} - 4\cdot 2 + 5

Con el resultado de:

 P(2) = 9 \;

Igualdad de polinomios

Dados dos polinomios de grado n, se dice que son iguales si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales.

  • Ejemplo:

 P(x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 4\,

 Q(x) = 5 x +5 x^{3} - 4 - x^{2} \,

Polinomio opuesto

Dados dos polinomios de grado n, se dice que son opuestos y se representa:

 P(x) = -Q(x) \,

si los coeficientes de los monomios de igual grado son de distinto signo (opuestos).

  • Ejemplo:

 P(x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 2,3 x - 6 \,

 Q(x) = + 3 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} - 2,3 x + 6 \,

los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos.

Adición de polinomios

La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.

El polinomio suma R(x), será:

 R(x) = P(x) + Q(x) \,

  • Ejemplo:

Escribiendo los polinomios de modo que los monomios de igual grado estén alineados verticalmente, la suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo grado, como se ve en el ejemplo.

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />          & 3x^6 & -2x^5 & +8x^4 &  +8x^3 &  -3x^2 &  +7x & +1 \\<br /><br />        + &      & +4x^5 &  +x^4 &  +9x^3 & -12x^2 &  +6x & -5 \\<br /><br />       \hline<br /><br />          & 3x^6 & +2x^5 & +9x^4 & +17x^3 & -15x^2 & +13x & -4 \\<br /><br />    \end{array}<br /><br />

Multiplicación de polinomios

  • Multiplicación de un polinomio por un escalar

Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se ha multiplicado por k.

  • Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

P(x) = 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1

Lo multiplicamos por 3

3 \cdot P(x) =3 \cdot ( 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1)

Operando con los coeficientes:

3 \cdot P(x) =( 3 \cdot 2) \, x^{4} + ( 3 \cdot 5) \, x^{3} - ( 3 \cdot 6) \, x^{2} + ( 3 \cdot 7) \, x + ( 3 \cdot 1)

Y tenemos como resultado:

 3 \cdot P(x) = 6 \, x^{4} + 15 \, x^{3} - 18 \, x^{2} + 21 \, x + 3

esta operación también puede expresarse del siguiente modo:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />          & 2x^4 &  +5x^3 &  -6x^2 &  +7x & +1 \\<br /><br />   \times &      &        &        &      &  3 \\<br /><br />       \hline<br /><br />          & 6x^4 & +15x^3 & -18x^2 & +21x & +3<br /><br />    \end{array}<br /><br />

Que es la forma aritmética para hacer la operación.

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del monomio, y sumar a los grados del polinomio el del monomio

  • Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

P(x) = 5 \, x^{5} + 7 \, x^{4} - 5 \, x^{3} + 3 \, x^{2} - 8 \, x + 4

y del monomio:

M(x) = 3 \, x^{2}

La multiplicación es:

P(x) \cdot M(x) = (5 \, x^{5} + 7 \, x^{4} - 5 \, x^{3} + 3 \, x^{2} - 8 \, x + 4 ) \cdot 3 \, x^{2}

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

P(x) \cdot M(x) = (5 \cdot 3 ) \, x^{5} \cdot x^{2} + (7\cdot 3 ) \, x^{4}\cdot x^{2} + ( - 5\cdot 3 ) \, x^{3} \cdot x^{2} + (3\cdot 3 ) \, x^{2}\cdot x^{2} +(- 8\cdot 3 ) \, x \cdot x^{2} + (4\cdot 3) \cdot x^{2}

realizando las operaciones:

P(x) \cdot M(x) = 15 \, x^{7} + 21 \, x^{6} - 15 \, x^{5} + 9 \, x^{4} - 24 \, x^{3} + 12 \, x^{2}

esta misma operación, se puede representar de esta forma:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrrr}<br /><br />          &  5x^5 &  +7x^4 &  -5x^3 & +3x^2 &    -8x &  +4    \\<br /><br />   \times &       &        &        &       &        &   3x^2 \\<br /><br />       \hline<br /><br />          & 15x^7 & +21x^6 & -15x^5 & +9x^4 & -24x^3 & +12x^2<br /><br />    \end{array}<br /><br />

donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x)

Multiplicación de dos polinomios

Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x) que será un polinomio de grado n + m

  • Ejemplo:

vamos a multiplicar los polinomios:

P(x) = - 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3

Q(x) = 3 \, x^{2} + x - 4

el producto de los polinomios P(x) * Q(x):

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />             &        &  -2x^3 &  +5x^2 &   +6x & -3 \\<br /><br />             &        & \times &   3x^2 &    +x & -4 \\<br /><br />       \hline<br /><br />    \end{array}<br /><br />

lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación:

P(x) \cdot ( - 4) = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot ( - 4)

que resulta:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />             &        &  -2x^3 &  +5x^2 &   +6x & -3 \\<br /><br />             &        & \times &   3x^2 &    +x & -4 \\<br /><br />       \hline<br /><br />             &        &   8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\<br /><br />    \end{array}<br /><br />

ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x:

P(x) \cdot x = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot x

al realizar la operación se colocan los resultados alineados verticalmente según las potencias de x, del siguiente modo:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />             &        &  -2x^3 &  +5x^2 &   +6x & -3 \\<br /><br />             &        & \times &   3x^2 &    +x & -4 \\<br /><br />       \hline<br /><br />             &        &   8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\<br /><br />             &   -2x^4&  +5x^3 &  +6x^2 &  -3x &     \\<br /><br />    \end{array}<br /><br />

hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):

P(x) \cdot 3 \, x^{2} = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot 3 \, x^{2}

lo que resulta:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />             &        &  -2x^3 &  +5x^2 &   +6x & -3 \\<br /><br />             &        & \times &   3x^2 &    +x & -4 \\<br /><br />       \hline<br /><br />             &        &   8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\<br /><br />             &   -2x^4&  +5x^3 &  +6x^2 &  -3x &     \\<br /><br />       -6x^5 & +15x^4 & +18x^3 &  -9x^2 &      &     \\<br /><br />    \end{array}<br /><br />

hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los productos parciales, según las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />             &        &  -2x^3 &  +5x^2 &   +6x & -3 \\<br /><br />             &        & \times &   3x^2 &    +x & -4 \\<br /><br />       \hline<br /><br />             &        &   8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\<br /><br />             &   -2x^4&  +5x^3 &  +6x^2 &  -3x &     \\<br /><br />       -6x^5 & +15x^4 & +18x^3 &  -9x^2 &      &     \\<br /><br />       \hline<br /><br />       -6x^5 & +13x^4 & +31x^3 & -23x^2 & -27x & +12<br /><br />    \end{array}<br /><br />

este polinomio de 5º grado es el producto de P(x) de 3º grado y Q(x) de 2º grado.

División de polinomios

La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:

 P(x) \,  Q(x) \,
 R(x) \,  C(x) \,

tal que:

 P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,
dividendo = divisor × cociente + resto

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).

  • ejemplo:

veamos un ejemplo para:

 P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;

 Q(x)  = x^{2} - 2 \, x - 1 \;

que para la realización de la división representamos:

<br /><br />    \begin{array}{rl}<br /><br />       \begin{array}{rrrrr}<br /><br />           3x^4 & -2x^3 &  +4x^2 &  +2x &  -3 \\<br /><br />       \end{array}<br /><br />    &<br /><br />       \begin{array}{|rrr}<br /><br />           x^2 & -2x &  -1 \\<br /><br />          \hline<br /><br />       \end{array}<br /><br />    \end{array}<br /><br />

como resultado de la división finalizada:

<br /><br />    \begin{array}{rl}<br /><br />       \begin{array}{rrrrr}<br /><br />           3x^4 & -2x^3 &  +4x^2 &  +2x &  -3 \\<br /><br />          -3x^4 & +6x^3 &  +3x^2 &      &     \\<br /><br />          \hline<br /><br />              0 &  4x^3 &  +7x^2 &  +2x &  -3 \\<br /><br />                & -4x^3 &  +8x^2 &  +4x &     \\<br /><br />          \hline<br /><br />                &     0 &  15x^2 &  +6x &  -3 \\<br /><br />                &       & -15x^2 & +30x & +15 \\<br /><br />          \hline<br /><br />                &       &        & +36x & +12<br /><br />       \end{array}<br /><br />    &<br /><br />       \begin{array}{|rrr}<br /><br />           x^2 & -2x &  -1 \\<br /><br />          \hline<br /><br />          3x^2 & +4x & +15 \\<br /><br />          \, \\<br /><br />          \, \\<br /><br />          \, \\<br /><br />          \, \\<br /><br />          \,<br /><br />       \end{array}<br /><br />    \end{array}<br /><br />

http://www.youtube.com/watch?v=thtodf4hcvE

Teorema Del Resto: El resto R de la división de un polinomio P(x) por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo “x” por el opuesto de “a” (es decir, por − a). Formalmente puede expresarse como:

R = P( - a )\;

Por ejemplo, si

P(x) = 3 x^{4} - 5 x^{2} + 3 x - 20 \,

y el binomio divisor es

(x-2) \,

entonces el resto seráP( 2 )\,, y se obtiene el resto:

P(2) = 3 \times 16 - 5 \times 4 + 3 \times 2 - 20 = 14 \,

Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.


División de polinomios (REGLA DE RUFFINI)

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.( el polinomio divisor debe ser normalizado y de grado 1)

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:

(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)

  • Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
  • Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
  • Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independientemente del divisor.
  • Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

Ruffini

  • Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

Ruffini

  • Sumamos los dos coeficientes.

Ruffini

  • Repetimos el proceso anterior.

Ruffini

Volvemos a repetir el proceso.

Ruffini

Volvemos a repetir.

Ruffini

  • El último número obtenido, 56 , es el resto.
  • El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

Ejemplo

Dividir por la regla de Ruffini:

(x5 − 32) : (x − 2)

Ruffini

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16

R = 0 el resto no siempre es cero