La división de dos polinomios puede realizarse con mayor rapidez por un procedimiento que recibe el nombre de Regla de Ruffini. Pero únicamente se puede aplicar cuando el polinomio divisor es un binomio de grado 1 o sea tiene la forma ax + b o ax – b
Sea la siguiente división de polinomio
( x 5 – 2 x 3 + x – 7) : (x + 3 )
ver el video
Ni lerdo ni perezoso, Ruffini no desaprovechó la oportunidad de simplificar tamaña división; y creó una disposición práctica que permite calcular el cociente entre un polinomio y un binomio de la forma (x+a) , siendo “a” un número racional. Por supuesto, en su honor, este procedimiento lleva su nombre y se llama REGLA DE RUFFINI
Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendomayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes.
axn : bxm = (a : b)xn − m
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.
División de polinomios
La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
ejemplo:
veamos un ejemplo para:
que para la realización de la división representamos:
veamos dos ejemplos de divisiones
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Teorema Del Resto: El resto R de la división de un polinomio P(x) por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo «x» por el opuesto de «a» (es decir, por − a). Formalmente puede expresarse como:
Por ejemplo, si
y el binomio divisor es
entonces el resto será, y se obtiene el resto:
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.
Una función matemática es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codominio.
Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma
O bien: y = ax2 + bx +c
siendo a≠0.
Esta forma de escribir la función se denomina forma general.
La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.
Ejemplo:
Las parábolas tienen forma de ∪ (si a>0) o de ∩ (si a<0).
Además de la orientación, el coeficiente a es la causa de la amplitud de la función: cuanto mayor es |a|, más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.
2. Eje de simetría
Para encontrar la ecuación de la recta que define el eje de simetría, simplemente usamos esta fórmula:
este eje de simetría separará en dos partes iguales la parábola y se lo grafica con una línea recta punteada paralela al eje de las ordenadas.
3 . Vértice
Las funciones cuadráticas tienen un punto máximo (si a<0) o un punto mínimo (si a>0). Este punto es el vértice de la parábola.
La primera coordenada del vértice se la obtiene:
Y la segunda coordenada es su imagen:
Ejemplo
Calculamos el vértice de la función
Identificamos los coeficientes:
Como a es negativo, la parábola tendrá forma de ∩. El vértice es el máximo punto que se encontrara en dicha función.
La primera coordenada del vértice es:
Calculamos la segunda coordenada:
Por tanto, el vértice es el punto:
Gráfica:
4. Puntos de corte o intersección con los ejes
Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. Siempre que la función este en la forma general, el término independiente será ese punto que tendrá como coordenadas (0 , c ), el cual será marcado sobre el eje Y positivo si el término independiente es positivo de lo contrario se marcara sobre el eje Y negativo.
Una función corta al eje de abscisas cuando y = 0. Por tanto, para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:
Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X, ese dato también lo podemos saber utilizando el discriminante de la ecuación.
Recordamos la fórmula que necesitamos:
Ejemplo
Calculamos los puntos de corte de la función
Los coeficientes de la ecuación son: a = 1, b = 0 y c = −1.
Intersección con el Eje Y:
El punto de corte con el eje Y es (0 , −1).
Intersección con el Eje X:
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
Ya que es una ecuación incompleta, se podría encontrar los valores de X también de otra manera
Hay dos soluciones: x1= 1 y x2= −1.
Ahora cuando reemplacemos esos valores de X encontrados, la segunda coordenada será 0.
Por tanto, tenemos dos puntos de corte
5. Formas factorizada y canónica
La forma factorizada de una función cuadrática es:
o bien: Y = a (x – x1 ) . ( x – x2)
donde a es el coeficiente principal (visto anteriormente); x1 y x2 son las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0.
Si la ecuación ax2+bx+c=0 no tiene soluciones, o sea cuando el valor del discriminante es menor que cero no podemos expresar la forma factorizada de la función.
Si la ecuación sólo tiene una solución, x1, o sea el discriminante es igual a cero la forma factorizada es:
f(x)=a (x−x1)2
Ejemplo
En el ejemplo anterior vimos que los puntos de corte con el eje X de la función f(x)=x2−1 son: (1,0) y (−1,0). Por tanto, la forma factorizada de esta función es
La forma canónica de una función cuadrática es:
donde a es el coeficiente principal que ya hemos visto en las ecuaciones; h es la primera coordenada del vértice y kes la segunda.
Ejemplo
Vimos en un ejemplo que el vértice de la función f(x)= −2x2 + 3 era:
V= (3/4 , 9/8) también podemos observar que el valor de a = – 2 . Por tanto, su forma canónica es
6. Intersección de dos parábolas
Podemos preguntarnos si las gráficas de dos funciones se cortan entre sí. Para resolver esta pregunta, tenemos que igualar las funciones y resolver la ecuación resultante.
Ejemplo
Calculamos la intersección de las siguientes parábolas:
Igualamos ambas funciones y resolvemos la ecuación:
Las soluciones de la ecuación son x1=1 y x2=−1.
La segunda coordenada se obtiene calculando la imagen:
Por tanto, los puntos de corte son: (1,0) y (−1,0).
Gráfica:
Video explicativo de cómo encontrar gráfica y analíticamente parábolas:
Video explicativo de cómo encontrar los puntos de intersección entre dos parábolas
Una ecuación irracional es una ecuación en la que aparecen raíces que contienen a la incógnita en su radicando, es decir, la incógnita se encuentra bajo signos radicales.
Para resolverlas, debemos observar la cantidad de raíces que tiene la ecuación, podemos encontrar dos tipos de ecuaciones irracionales: con una raíz o con más de una, de eso dependerá su resolución.
Uno de los métodos más sencillos consiste en la elevación sucesiva de ambos lados de la ecuación. Normalmente, escogemos como potencia al índice del radicando esto hará que desaparezcan las raíces (por ejemplo, elevamos al cuadrado si hay raíces cuadradas) o si queda una volveremos a proceder del mismo modo hasta que no quede ninguna.
Uds se preguntaran: ¿ Porque vemos la potenciación primero y no ladivisión?
Veamos ahora la definición: Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base (en nuestro caso sera un monomio o un polinomio) y es el exponente ( un número natural). En donde la base se multiplica por sí misma las veces indicadas por el exponente. Entonces cuando esté elevada al cuadrado se multiplicará dos veces, al cubo tres veces y así sucesivamente. o sea será una multiplicación abreviada.
POTENCIACIÓN DE MONOMIOS
Para resolver la potencia de monomios se deben
Aplicar las propiedades de la potenciación.
Por ej.:
(- 5 x 4 ) 3 = – 125 x 12
POTENCIACIÓN DE BINOMIOS
CUADRADO DE UN BINOMIO
Al desarrollar el cuadrado de un binomio se obtiene una expresión a la que se conoce con el nombre de Trinomio Cuadrado Perfecto
(a+b) 2 = (a+b).(a+b) aplicando la definición de potencia
(a+b) 2 = a 2 +a.b +b.a +b 2 aplicando propiedad distributiva
(a+b) 2 = a 2 +2.a.b +b 2 reduciendo los términos semejantes
Cuadrado de un binomio = Trinomio cuadrado perfecto
(3x2 – 4x) 2 = (3x 2 ) 2 – 2. 3x 2 .4x +(4x) 2
= 9 x 4 – 24 x 3 + 16 x 2
CUBO DE UN BINOMIO
Al desarrollar el cubo de un binomio se obtiene una expresión a la que se conoce con el nombre de cuatrinomio Cubo Perfecto
(a+b) 3 = (a+b).(a+b).(a+b) aplicando la definición de potencia y la distributiva
(a+b) 3 = (a 2 +a.b +b.a +b 2 ) . (a+b) aplicando nuevamente propiedad distributiva
(a+b) 3 = a 3 +3 . a 2 . b + 3 .a . b 2 + b 3 reduciendo los términos semejantes
Con la expresión “regla de tres” se designa un procedimiento que se aplica a la resolución de problemas de proporcionalidad en los cuales se conocen tres de los cuatro datos que componen las proporciones y se requiere calcular el cuarto. Aplicado correctamente el razonamiento en el proceso de solución, se reduce a la secuencia de una multiplicación de dos de los números, seguida de una división por el tercero.
Veamos un ejemplo. “Un paquete de 500 gramos de café se vende a $260. ¿A qué precio se debe vender un paquete de 450 gramos? (se sobreentiende que es del mismo tipo de café y al mismo precio unitario)”
Solución: 500 g de café————— $ 260
450 g de café —————– x
“Como podrán notar se colocan uno debajo de otro aquellos datos que posean la misma característica o que se trate de la misma cosa, en este caso los gramos de café”
Para calcular x multiplicamos 450 x 260 y a este resultado lo dividimos entre 500
Entonces el precio de 450 gr de café será $ 234
Problemas con Porcentajes:
En el colegio de San Ramón, el rector prevé que el próximo año el número de estudiantes aumentará un 5%. Ahora son 400. ¿Cuántos serán el año que viene?
Los padres de Teresa van a comprar un coche que vale $1.750.000. Pagarán el 40% de su precio cuando se lo entreguen, y el resto en 12 cuotas mensuales iguales. Calcula las cantidades que tendrán que pagar cada vez.
Al comprar una moto, cuyo precio es de $70.000, hay que pagar el 13% más en concepto de impuestos. ¿Cuál es el precio final de la moto?
La comunidad autónoma donde vive Alfredo tiene una población de 653.800 habitantes, de los cuales el 51% son mujeres.
a) ¿Qué porcentaje representan los hombres?
b) ¿Cuántas mujeres hay?
c) ¿Cuántos hombres hay?.
Se ha investigado y se ha llegado a la conclusión de que, aproximadamente, el 1% de los nacimientos que se producen es de mellizos. En una gran ciudad, donde hay unos 27.000 nacimientos al año, ¿cuántos son de mellizos?
Alfredo va a comprar una mochila de $6.460. En la tienda le rebajan un 15%.
a- ¿Qué porcentaje paga por la mochila?
b- ¿Cuánto paga por la mochila?.
Resuelve este problema siguiendo los siguientes pasos:
– ¿Cuánto dinero le descontaron a Alfredo?
– ¿Cuánto dinero pagó por la mochila?
Compara los dos procedimientos para ver cuál te resuelta más rápido.
Para multiplicar dos monomios deben multiplicarse
los coeficientes y las indeterminadas entre sí aplicándose
la regla de los signos y las propiedades
de la potenciación ( producto de potencias de igual base, se suman las potencias)
Ej.:
7 x4 . 5 x 2 = 35 x 6
Para multiplicar un monomio con un polinomio o bien dos polinomios se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta,efectuándose luego la multiplicación de monomios, por último se suman los términos semejantes
Ejemplo 1: Dados: P(x)= 5 x 2
Q(x)= 6x 3 + 2x – 9
Hallar P(x).Q(x)
5 x 2 . (6x 3 + 2x – 9) = 30x 5 + 10x 3 – 45x 2
Ejemplo 2: Dados: P(x)= – 5 x 4 – 2 x 3 + x y
Q(x)= x +1
Hallar P(x).Q(x)
(- 5x 4 – 2 x 3+ x) . ( x +1 )= – 5x 5 – 5x 4 – 2x 4 – 2x 3 + x 2 + x = – 5x 5 – 7x 4 – 2x 3 + x 2 + x
Recordemos que la forma general de una ecuación cuadrática o de segundo grado es
donde a ≠ 0 , b y c los coeficientes.
Una ecuación cuadrática es incompleta cuando el coeficiente b = 0 , c = 0 o bien ambos son ceros.
( recuerda que «a» debe ser distinto de 0 , sino ya no sería una ecuación cuadrática) , se clasifican en ecuaciones cuadráticas incompletas puras (de la forma; ax2+ c = 0) y mixtas (de la forma ax2 + bx = 0), respectivamente.
Por tanto, tenemos 3 tipos de ecuaciones incompletas:
Cada uno de estos tipos se resuelve de una forma distinta.
– ¿Qué son las ecuaciones cuadráticas incompletas?
Se llama ecuaciones incompletas de segundo grado o cuadráticas, cuando la ecuación carece del término en x , el término independiente o ambos ( recuerda que «a» debe ser distinto de 0 , sino ya no seria una ecuación cuadrática) , y se clasifican en ecuaciones cuadráticas incompletas puras (de la forma; ax2+ c = 0) y mixtas (de la forma ax2 + bx = 0), respectivamente.
Para resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas puras de la forma ax2 + c = 0, deberás despejar la incógnita. Para esto pasamos c al 2° miembro, luego a y por último el cuadrado de x, como se muestra a continuación;
Un polinomio es unaexpresión algebraica de sumas, restas y multiplicaciones ordenadas hecha de variables, constantes y exponentes.
En álgebra, un polinomio puede tener más de una variable (x, y, z), constantes (números enteros o fracciones) y exponentes (que solo pueden ser números positivos enteros).
Los polinomios están formados por términos finitos. Cada término es una expresión que contiene uno o más de los tres elementos de los que están hechos: variables, constantes o exponentes. Por ejemplo: 9, 9x, 9xy son todos términos. Otra forma de identificar los términos es que se separan por sumas y restas.
la forma general de escribir un polinomio es:
son los coeficientes del polinomio (serán números reales) con an distinto de cero y , entonces un polinomio ( se los nombra siempre utilizando una letra mayúscula) de grado n en la variable x es su forma simplificada de escribirlo seria:
Lee atentamente la siguiente situación:
“El día lunes, un fabricante de juguetes compró 2m3 de goma espuma, 10m2 de tela y 20m de cinta. El viernes hizo otra compra de 4m3 de goma espuma, 5m2 de tela y 8m de cinta. ¿Cuál fue la compra total que hizo?”
¿Como la resolverías?
BIEN, no se puede sumar cantidades de distintas magnitudes como volumen (m 3 ), superficie (m2 ), y longitud (m).
La expresión de la compra realizada en cada uno de los días y el total, son polinomios cuya variable es “m”.
Los términos que tienen la misma variable y exponente son TÉRMINOS SEMEJANTES.
En el ejemplo anterior, 2m3 y 4m 3 son términos semejantes, también lo son 10m 2 y 5m 2 , como así 20m y 8m.
Solo se puede sumar entre sí términos semejantes.
Polinomios completos
– Un polinomio está completo si figuran todas las potencias de la variable desde el cero hasta el grado del polinomio, por ej.:
H(s)= 2s + 5s 3 – s 2 + 4
Aclaración: cuándo un polinomio no está completo, se lo completa agregándole los términos que faltan con la variable del grado faltante y coeficiente cero.
Polinomios Ordenados:
– Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de la variable, por ej:
S(t)= – 0,5 t 2 + 6 t 4 + 8 t 5 los exponentes están ascendiendo (creciente)
T(x)= 7 x 4 – x 3 + 2 x los exponentes están descendiendo (decreciente)
Ahora veamos como sumar polinomios:
Sean los polinomios:
G(h)= 2h 3 + h 2 – 2 y
F(h)= 3h – h 3 + 4h 2
Para poder sumar G(h) + F(h), se completan y ordenan los polinomios, se encolumnan o se seleccionan los términos semejantes y se suma:
G(h)= 2h 3 + h 2 + 0h – 2
+
F(h)= – h 3 +4 h 2 + 3h + 0
——————————————
h 3 + 5 h 2 + 3h – 2
POLINOMIOS OPUESTOS
Dos polinomios son opuestos cuándo todos sus coeficientes son números opuestos. Por ej.:
Son polinomios opuestos P(x) y Q(x), ya que
P(x)= h 3 + 5 h 2 + 3h – 2
y Q(x)= – h 3 – 5 h 2 – 3h + 2
Observa:
● Tienen el mismo grado.
● Tienen el mismo número de términos.
● Los coeficientes de los términos semejantes son opuestos.
RESTA DE POLINOMIOS
Para restar dos polinomios, sumamos al polinomio minuendo el opuesto del sustraendo; es decir:
P(x) – R(x) = P(x) +[-R(x)]
Por ej.:
Sean los polinomios:
P(x)= 7 x4 – x 3 + 2 x y
R(x)= – 5 x4 – 2 x 3 + x
Restar dos polinomios es equivalente a sumar al minuendo, el opuesto del sustraendo
(7 x4 – x3 + 2 x ) – ( – 5 x4 – 2 x 3 + 4 x ) = (7 x4 – x3 + 2 x ) + ( 5 x4 + 2 x3 – 4 x )
, y se obtiene el resto:
:
y obtenemos
efectuamos el cambio de variable:
y obtenemos
![{t^{2}-7t+6=(t-6)(t-1)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=6, \; t=1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\sqrt[3]{6}, \; x=1}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a753e9d284c8a2511c76c644da90593b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
( se los nombra siempre utilizando una letra mayúscula)
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