Algebra Lineal

INVERSA DE UNA

 

MATRIZ CUADRADA

 

La Matriz A es inversible o regular o no singular, si y solo si existe una matriz B tal que su producto por A, a izquierda o derecha, es la IDENTIDAD

A . B = B . A = I

A inversa de A, si existe, se la denota mediante A-1. Siendo por definición:

A . A-1  = A-1. A   =  I

Observamos que A y son inversas entre si, y en consecuencia

(A-1 )-1 = A

Para determinar  la inversa de una matriz, si es que existe, se utiliza Operaciones Elementales o Método de Gauss. El método de Gauss nos permite determinar el rango de una matriz mediante un número finito de operaciones elementales del tipo: Permutación de dos filas entre si, o de dos columnas entre si, Multiplicación de una fila o de una columna por un escalar no nulo, Adición de una fila a otra ,o adición de una columna a otra. Señalamos que se opera exclusivamente sobre las filas de la matriz, y que además el método se hace extensivo a la determinación de la inversa de una matriz no singular y a la resolución de sistemas lineales.

Esencialmente, mediante las operaciones elementales indicadas, se trata de formar el máximo numero de vectores canónicos linealmente independientes. Tal número es precisamente, el rango de la matriz. A continuación se muestra como se obtiene la matriz inversa utilizando las operaciones elementales:  

 

 El método de Gauss Jordán también nos ofrece otra manera de hallar la inversa de una matriz la mecánica del procedimiento a seguir es la siguiente:

  1. Se elige como pivote cualquier elemento cualquier elemento no nulo de la matriz dada, y se divide por él la fila correspondiente.
  2. Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en ceros.
  3. el transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina siguiendo la regla del “rectángulo”, es decir, es igual a su diferencia con el producto contradiagonal dividido por el pivote. 
  4. Se reitera el mecanismo eligiendo como pivote un elemento no nulo que no pertenezca ni a la fila ni a la columnas de los pivotes anteriores.
  5. El número de vectores canónicos linealmente independientes es el rango de una matriz
    A I

Sea A una matriz no singular de orden n x n,  a su derecha se escribe la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. La matriz así indicada es del tipo n x 2n, y a ella se le aplica el método de Gauss Jordán hasta lograr que A se transforme en identidad

A I
I B

Si los vectores canónicos obtenidos no resultan ordenados de modo que constituyan una matriz diagonal , la identidad se logra mediante una adecuada permutación de filas de la matriz completa. la matriz resultante a la derecha es la inversa 

podras ver en un video una explicacion sobre el tema:

En el siguiente simulador podras observar paso a paso como encontrar la inversa de una matriz de 3×3:simulador  ( el simulador no es del tema)

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s


A %d blogueros les gusta esto: