Factorizacion de Polinomios

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

  • Sacar factor común

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes.

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar

¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto

 

y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado.

Ejemplos:

 

  • Factor común por grupos

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas.

 

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

Saco factor común “4” en el primer y segundo término; y factor común “x” en el tercer y cuarto término. Los dos “resultados” son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (“Resultado desordenado”)

4a +  4b  +  xb  +  xa =

4.(a + b) +  x.(b + a) =

4.(a + b) +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

En el primer paso el “resultado” quedó “desordenado”: (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

 

EJEMPLO 3: (Con términos negativos)

4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los “resultados” quedan iguales no hay problema.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Con términos negativos y “Resultado desordenado”)

4a  -  4b  -  xb  +  xa =

4.(a - b)  +  x.(-b + a) =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

      (a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a – b)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Resultados “opuestos”)

4a  -  4b  -  xa  +  xb =

4.(a - b)  +  x.(-a + b) =

4.(a - b)  -  x.(a - b) =

       (a - b).(4 - x)

En el primer paso quedaron los signos opuestos para los dos términos. Pero en el segundo paso, “saco el menos afuera y hago un cambio de signos” (lo que en realidad es Sacar Factor Común negativo)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

 

EJEMPLO 6: (Resultados “opuestos” y “desordenados”)

4a  -  4b  +  xb  -  xa =

4.(a - b)  +  x.(b - a) =

4.(a - b)  -  x.(-b + a) =

4.(a - b)  -  x.(a - b) =

      (a - b).(4 - x)

Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto cada término. En el segundo paso, “saco el menos afuera y hago un cambio de signos” (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a – b)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Todos los términos son negativos)

-4a  -  4b  -  xa  -  xb =

-4.(a + b)  -  x.(a + b) =

      (a + b).(-4 - x)

En estos casos es casi mejor sacar directamente Factor Común negativo (¿Cómo sacar Factor Común negativo?) Y sino también, en la “EXPLICACIÓN”, también muestro cómo se haría sacando Factor Común positivo.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 8: (Agrupando términos no consecutivos)

4x2a  +  3y  +  12ax  +  ya =

4ax.(x + 3)  +  y.(3 + x) =

4ax.(x + 3)  +  y.(x + 3) =

      (x + 3).(4ax + y)

No siempre podemos agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que haber Factor Común entre los que agrupamos, y el “resultado” debe dar igual (o desordenado u opuesto, como se ve en los ejemplo anteriores).
En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

EJEMPLO 9: (Polinomio de 6 términos)

4a - 7x2a + ya  +  4z - 7x2z + yz =

a.(4 - 7x2 + y) +  z.(4 - 7x2 + y) =

       (4 - 7x2 + y).(a + z)

Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos. (Para verlo también de la otra forma, consultar en la EXPLICACIÓN)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9

EJEMPLO 10: (Cuando parece que no se puede aplicar el caso, pero se puede)

4x3  -  4x2  +  x - 1 =

4x2.(x - 1)  +  x - 1 =

4x2.(x - 1)  +  1.(x - 1) =

     (x - 1).(4x2 + 1)

Parece que no se pudiera aplicar el caso, porque entre la x y el 1 que quedaron no hay Factor Común. Sin embargo el caso se puede aplicar, sólo se trata de saber reconocer la situación. En el paso 2 es donde se vislumbra la posibilidad de usar el caso, por el resultado que dio la primera agrupación: (x – 1), que es igual a lo que quedó sin agrupar.

  • Diferencia de cuadrados

Se basa en la siguiente fórmula:

EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 – 9 = (x + 3).(x – 3)

x     3

Los dos términos son cuadrados. Las “bases” son x y 3. Se factoriza multiplicando la “suma de las bases” por la “resta de las bases”.

EJEMPLO 2: (Con dos letras)

x2 – y2 = (x + y).(x – y)

EJEMPLO 3:

x6 – 4 = (x3 + 2).(x3 – 2)

EJEMPLO 4:

36x2 – a6b4 = (6x + a3b2).(6x – a3b2

 

otros ejemplos de factorización por este método:

 

  • Cuadrado de un binomio:

    es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

 

(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

(2x − 3)2 = (2x)2 + 2 · 2x · (-3) + (-3)2 = 4x2 − 12 x + 9

 

 

  • Trinomio Cuadrado perfecto

    : Es igual al cuadrado de un binomio

Se basa en las siguientes fórmulas

y

Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

Otros ejemplos de factorización por este método:

 

·        Cuatrinomio Cubo perfecto

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

(- a + b)3 = – a3 + 3 · a2 · b – 3 · a · b2 + b3

(-a – b)3 = – a3 – 3 · a2 · b – 3 · a · b2 – b3

 

  • Teorema de Gauss

EJEMPLO 1: (Con coeficiente principal distinto de 1)

2x3 – 3x2 – 11x + 6 = (x + 2).(x – 3).(2x – 1)

Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6

Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2

Posibles raíces del polinomio: k/a

Entonces pueden ser raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2

El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios: (x – 1),
(x + 1), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x – 3), (x + 6), (x – 6), (x + 1/2),

(x – 1/2),(x + 3/2) ó (x – 3/2). Es decir (x – a), siendo “a” una de esas posibles raíces.

Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:

  | 2  -3  -11   6
  |
  |
-2|    -4   14  -6 
    2  -7    3 | 0

Cociente: 2x2 – 7x + 3           Resto: 0

Por ahora, la factorización queda: (x + 2).(2x2 – 7x + 3).

En el polinomio de segundo grado que quedó puedo volver a buscar raíces con Gauss, o aplicar el Séptimo Caso (usar la cuadrática). Voy a seguir con Gauss:

2x2 – 7x + 3 =

Posibles raíces: 1, -1, 3, -3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2

Cuando pruebo dividir por (x – 3), encuentro que el resto dá 0:

  | 2  -7   3
  |
  |
 3|     6  -3 
    2  -1 | 0

Cociente: (2x – 1)      Resto: 0

Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorización queda así:

(x + 2).(x – 3).(2x – 1)

Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio entre los divisores del término independiente, y en los cocientes que forman esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir al polinomio por (x – raíz), división que tiene como resto 0. Luego, como en el Sexto Caso, se factoriza usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE. (Nota: Para averiguar si un número es raíz del polinomio uso la división, porque así lo suelen hacer en el Nivel Medio, pero se puede hacer de otra forma)
Para más información consultar en  CONCEPTOS GENERALES DEL CASO

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Coeficiente principal igual a “1”)

x4 – 15x2 + 10x + 24 = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 4)

k = 1, -1, 2, – 2, 3, – 3, 4, – 4, 6, – 6, 8, – 8, 12, -12, 24, – 24

a = 1, -1

Posibles raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24, -24

Pruebo dividir por (x + 1) y el resto dá 0:

   | 1  0  -15  10  24
   |
   |
 -1|   -1    1  14 -24 
     1 -1  -14  24 | 0

Va quedando: (x + 1).(x3 – x2 – 14x + 24)

Ahora factorizo el cociente x3 – x2 – 14x + 24. Las posibles raíces son las mismas, porque es el mismo término independiente. Pruebo dividir por (x -2) y el resto dá cero:

   | 1  -1  -14   24
   |
   |
  2|     2    2  -24 
     1   1  -12 |  0

Ahora va quedando: (x + 1).(x – 2).(x2 + x – 12)

Factorizo el último factor, que es de segundo grado. Las posibles raíces son los divisores de 12: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12. Pruebo dividir por (x – 3):

   | 1  1  -12
   |
   |
  3|    3   12  
     1  4 |  0

La factorización queda así:

(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 4)

Como el coeficiente principal es igual a 1, no hace falta calcular las distintas raíces con la fórmula k/a. Porque k/1 = k. Entonces las posibles raíces son todas las posibles k, es decir, solamente los divisores del término independiente, sin tener en cuenta al coeficiente principal.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

videos relacionados:

http://www.youtube.com/watch?v=q0r8Pa1eV9Q

  • SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

EJEMPLO 1: (Suma de Potencias Impares)

x5 + 32 = (x + 2).(x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)
x        2

  | 1  0  0  0  0  32
|
|
-2|   -2  4 -8  16 -32
1 -2  4 -8  16 |0

Cociente: x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16

Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2).  Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.
Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16), es decir: “la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división”.

Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras.

La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Resta de Potencias Impares)

x3 – 8 = (x – 2).(x2 + 2x + 4)

x     2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Resta de Potencias Pares)b4 – 81 = (b – 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó (b + 3).(b3 – 3b2 + 9b – 27)

b      3

En las restas de potencias pares se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Suma de Potencias Pares)

x4 + 16 = x4 + 16

En general no se factorizan las sumas de Potencias pares. Porque algunas no son divisibles ni por la suma ni por la resta de las bases. Pero las potencias que son múltiplo de 3, 5, u otros números impares, sí se pueden factorizar. Aunque, como es un poco diferente su factorización, no lo suelen ver en el Nivel Medio. Consultar en EJEMPLO 12 un ejemplo de esto.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Con el “1”)

x7 + 1 = (x + 1).(x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x + 1)

x     1

No hay que olvidar que el “1” puede ser “cualquier potencia”. Así que siempre puede ser tomado como base de cualquier potencia.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (Con dos letras)

x7 – y7 = (x – y).(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6)

x     y

La división por Ruffini se complica un poco en estos casos. Hay que tratar a la segunda letra como si fuera un número.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Con fracciones)

x6 – 1/64 = (x – 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32) 

x     1/2

1/64 es una potencia sexta, ya que (1/2)6 es igual a 1/64.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 8: (Con números decimales)

x5 + 0,00001 = (x + 0,1).(x4 – 0,1x3 + 0,01x2 – 0,001x + 0,0001)

x          0,1

También se puede hacer pasando los números decimales a fracción (Ver en la EXPLICACIÓN) 

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio)

EJEMPLO 9: (Con el número en el primer término)

-125 + x3 = x3 – 125 = (x – 5).(x2 + 5x + 25) 

                  x     5

En un caso como éste, puedo cambiar el orden para que quede la letra en el primer término, y así queda listo para aplicar la división de Ruffini.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9

EJEMPLO 10: (Con los signos equivocados)

-x6 + 64 = -(x6 – 64) = –(x – 2).(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32) ó
x      2
= –(x + 2).(x5 – 2x4 + 4x3 – 8x2 + 16x – 32)

En realidad es un ejercicio combinado. Primero hay que “sacar el menos afuera”, o “sacar factor común -1”.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10

EJEMPLO 11: (Con un número multiplicando a la primera letra)

8x3 +  27 = 8.(x3 + 27/8) = 8.(x + 3/2).(x2 – 3/2 x + 9/4)

x      3/2

El polinomio no está normalizado. Para dividir por Ruffini,  primero hay que normalizar el polinomio y luego aplicar el caso a lo que queda. Pero también existe una manera de hacer la división por Ruffini sin normalizar antes, aunque hay que saber un “truquito”. Se explica de todas las maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11

EJEMPLO 12: (Suma de potencias pares múltiplos de 3, o de otros números impares)

x6 + 64 = (x2)3 + 43 = (x2 + 4).(x4 – 4x2 + 16)

x2      4

Esta es una suma de potencias pares que sí se puede factorizar. Pero a la potencia sexta hay que verla como potencia tercera, es decir, una potencia impar. En este ejemplo, x6 es potencia tercera, ya que es igual a (x2)3. Y 64 también es potencia tercera, ya que es igual a 43. Entonces, las bases ya no son x y 2, sino x2 y 4. La división no puede hacerse por el método de Ruffini, sino por la división común de polinomios.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12

EJEMPLO 13: (Con letra y número en el segundo término)

x7 + 128a7 = (x + 2a).(x6 – 2ax5 + 4a2x4 – 8a3x3 + 16a4x2 – 32a5x + 64a6)

x       2a

En un ejemplo así se puede aplicar la división de Ruffini, pero es un poco más complicada, como la del EJEMPLO 6, ya que hay 2 letras. Y sino, se puede hacer con la división común o con la Regla para el Sexto Caso.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 13

EJEMPLO 14: (“No se puede hacer con Ruffini”)


a7x7 +  128b7= (ax + 2b).(a6x6 – 2a5x5b + 4a4x4b2 – 8a3x3b3 + 16a2x2b4
32axb5 + 64b6)

ax         2b

Este ejemplo es apropiado para resolverlo con la REGLA PARA EL SEXTO CASO, en vez de hacer la división.  También se puede hacer la división, pero no con la Regla de Ruffini.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 14

http://www.youtube.com/watch?v=rYuh2tt3m6U

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