NÚMEROS COMPLEJOS

Un Numero Complejo es una expresión del tipo
z = a + bi
donde a y b son números reales e i es un símbolo, cuyo significado sera aclarado mas
adelante.
Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las so-
luciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación


no tiene soluciones reales. “i” representa la unidad imaginaria

Números imaginarios

Un número imaginario se denota por bi, donde :

b es un número real.

i es la unidad imaginaria.

Entonces la unidad imaginaria es la  i y se designa por la letra i.

i

i

Números complejos en forma binómica

Al número a + ble llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por :

complejos

  • Los números complejos a + bi  y −a − bi se llaman opuestos.
  • Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
  • Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Operaciones de complejos en forma binómica

  • Suma y resta de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

  • Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i= −i

i4 = 1

i22

división

i22 = (i4)5 · i2 = − 1

i27 = −i

  • Multiplicación de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

  • División de números complejos

cociente

división

a continuación podrás ver unos vídeos con ejercicios combinados

Números complejos en forma polar y trigonométrica

complejo

módulo

|z| = r       arg(z) =alfa          z = rα

complejos.

relaciones

Binómica z = a + bi
Polar z = (r/α)
trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

complejo

módulo

argumento

z = 2120º

z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

Calculo del modulo y argumento de un complejo

¿Como pasar de la forma polar a la binómica?

sabiendo que

z = 2120º( forma polar)

ahora, para calcular las dos coeficientes (real e imaginario) se procede de la siguiente forma:

  • coeficiente real

a

  • coeficiente imaginario

b

de esta manera se obtiene :

binómica(forma binómica)

FORMA TRIGONOMÉTRICA

Esta expresión, z = r·(cos & + i·sen &), recibe el nombre de forma trigonométrica de z, donde r es el módulo de z y & su argumento. anteriormente ya pudimos ver como se calculaba el modulo y el argumento, solo hay que representar esos valores en la expresión de la forma trigonométrica

ver ejercitacion en ( seleccionar  el numero de tema 61 y 62)

http://www.logikamente.com.ar/?page=Recursos::Los_84_temas

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