POLINOMIOS

En matemáticas, se denomina polinomio a la suma de varios monomios (llamados términos del polinomio). Es una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes de números naturales. Por lo tanto existirán monomios, binomios, trinomios, pero el hecho de que hayan más de estos, se denomina polinomio (consta de más de 3 monomios)

Por ejemplo:

 x^{2} - 4x + 7 \;

es un polinomio, sin embargo:

 x^{2} - 4x +7 x^{\frac{3}{2}}, \qquad  x^{2} - \frac{4}{x} +7

no lo son, porque el primero involucra un exponente fraccionario y el segundo divisiones en la variable (una división entre la variable puede interpretarse como una potencia negativa en la variable).

El polinomio de un sólo término se denomina monomio; el de dos, binomio; el de tres, trinomio; el de cuatro, tetranomio. Cada uno de ellos y de los de mayor número de términos se llama polinomio de “N” términos, siendo “N” el número de términos de que se componga.

La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

 P(x)= a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} +  a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,

por ejemplo:

 P(x)= 7 x^5 + 9 x^4 - 14 x^2 + 6 x - 12 \,

Grado de un polinomio

Se denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de los monomios que lo componen. Así, x2 − 4x + 7 es un polinomio de grado dos; x3 − 4x2 + 3x + 7, de grado tres.

Valor numérico de un polinomio en un punto

Partiendo de un polinomio \scriptstyle P(x), el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor concreto de \scriptstyle x, \scriptstyle x\ =\ b, se obtiene sustituyendo la variable x del polinomio por el valor b y se realizan las operaciones. El resultado de P(b) es valor numérico del polinomio para \scriptstyle x\ =\ b.

P(x) = a_0 x^{0} + a_1 x^{1} + \cdots + a_n x^n

tomará un valor para x = b, de:

P(b) = a_0 b^{0} + a_1 b^{1} + \cdots + a_n b^n

  • Ejemplo:

Dado el polinomio:

 P(x) = 3 x^{2} - 4x + 5 \;

cual es su valor para x = 2, sustituyendo x por su valor, tenemos:

P(2) = 3\cdot 2^{2} - 4\cdot 2 + 5

Con el resultado de:

 P(2) = 9 \;

Igualdad de polinomios

Dados dos polinomios de grado n, se dice que son iguales si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales.

  • Ejemplo:

 P(x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 4\,

 Q(x) = 5 x +5 x^{3} - 4 - x^{2} \,

Polinomio opuesto

Dados dos polinomios de grado n, se dice que son opuestos y se representa:

 P(x) = -Q(x) \,

si los coeficientes de los monomios de igual grado son de distinto signo (opuestos).

  • Ejemplo:

 P(x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 2,3 x - 6 \,

 Q(x) = + 3 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} - 2,3 x + 6 \,

los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos.

Adición de polinomios

La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.

El polinomio suma R(x), será:

 R(x) = P(x) + Q(x) \,

  • Ejemplo:

Escribiendo los polinomios de modo que los monomios de igual grado estén alineados verticalmente, la suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo grado, como se ve en el ejemplo.

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />          & 3x^6 & -2x^5 & +8x^4 &  +8x^3 &  -3x^2 &  +7x & +1 \\<br /><br />        + &      & +4x^5 &  +x^4 &  +9x^3 & -12x^2 &  +6x & -5 \\<br /><br />       \hline<br /><br />          & 3x^6 & +2x^5 & +9x^4 & +17x^3 & -15x^2 & +13x & -4 \\<br /><br />    \end{array}<br /><br />

Multiplicación de polinomios

  • Multiplicación de un polinomio por un escalar

Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se ha multiplicado por k.

  • Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

P(x) = 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1

Lo multiplicamos por 3

3 \cdot P(x) =3 \cdot ( 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1)

Operando con los coeficientes:

3 \cdot P(x) =( 3 \cdot 2) \, x^{4} + ( 3 \cdot 5) \, x^{3} - ( 3 \cdot 6) \, x^{2} + ( 3 \cdot 7) \, x + ( 3 \cdot 1)

Y tenemos como resultado:

 3 \cdot P(x) = 6 \, x^{4} + 15 \, x^{3} - 18 \, x^{2} + 21 \, x + 3

esta operación también puede expresarse del siguiente modo:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />          & 2x^4 &  +5x^3 &  -6x^2 &  +7x & +1 \\<br /><br />   \times &      &        &        &      &  3 \\<br /><br />       \hline<br /><br />          & 6x^4 & +15x^3 & -18x^2 & +21x & +3<br /><br />    \end{array}<br /><br />

Que es la forma aritmética para hacer la operación.

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del monomio, y sumar a los grados del polinomio el del monomio

  • Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

P(x) = 5 \, x^{5} + 7 \, x^{4} - 5 \, x^{3} + 3 \, x^{2} - 8 \, x + 4

y del monomio:

M(x) = 3 \, x^{2}

La multiplicación es:

P(x) \cdot M(x) = (5 \, x^{5} + 7 \, x^{4} - 5 \, x^{3} + 3 \, x^{2} - 8 \, x + 4 ) \cdot 3 \, x^{2}

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

P(x) \cdot M(x) = (5 \cdot 3 ) \, x^{5} \cdot x^{2} + (7\cdot 3 ) \, x^{4}\cdot x^{2} + ( - 5\cdot 3 ) \, x^{3} \cdot x^{2} + (3\cdot 3 ) \, x^{2}\cdot x^{2} +(- 8\cdot 3 ) \, x \cdot x^{2} + (4\cdot 3) \cdot x^{2}

realizando las operaciones:

P(x) \cdot M(x) = 15 \, x^{7} + 21 \, x^{6} - 15 \, x^{5} + 9 \, x^{4} - 24 \, x^{3} + 12 \, x^{2}

esta misma operación, se puede representar de esta forma:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrrr}<br /><br />          &  5x^5 &  +7x^4 &  -5x^3 & +3x^2 &    -8x &  +4    \\<br /><br />   \times &       &        &        &       &        &   3x^2 \\<br /><br />       \hline<br /><br />          & 15x^7 & +21x^6 & -15x^5 & +9x^4 & -24x^3 & +12x^2<br /><br />    \end{array}<br /><br />

donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x)

Multiplicación de dos polinomios

Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x) que será un polinomio de grado n + m

  • Ejemplo:

vamos a multiplicar los polinomios:

P(x) = - 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3

Q(x) = 3 \, x^{2} + x - 4

el producto de los polinomios P(x) * Q(x):

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />             &        &  -2x^3 &  +5x^2 &   +6x & -3 \\<br /><br />             &        & \times &   3x^2 &    +x & -4 \\<br /><br />       \hline<br /><br />    \end{array}<br /><br />

lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación:

P(x) \cdot ( - 4) = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot ( - 4)

que resulta:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />             &        &  -2x^3 &  +5x^2 &   +6x & -3 \\<br /><br />             &        & \times &   3x^2 &    +x & -4 \\<br /><br />       \hline<br /><br />             &        &   8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\<br /><br />    \end{array}<br /><br />

ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x:

P(x) \cdot x = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot x

al realizar la operación se colocan los resultados alineados verticalmente según las potencias de x, del siguiente modo:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />             &        &  -2x^3 &  +5x^2 &   +6x & -3 \\<br /><br />             &        & \times &   3x^2 &    +x & -4 \\<br /><br />       \hline<br /><br />             &        &   8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\<br /><br />             &   -2x^4&  +5x^3 &  +6x^2 &  -3x &     \\<br /><br />    \end{array}<br /><br />

hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):

P(x) \cdot 3 \, x^{2} = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot 3 \, x^{2}

lo que resulta:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />             &        &  -2x^3 &  +5x^2 &   +6x & -3 \\<br /><br />             &        & \times &   3x^2 &    +x & -4 \\<br /><br />       \hline<br /><br />             &        &   8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\<br /><br />             &   -2x^4&  +5x^3 &  +6x^2 &  -3x &     \\<br /><br />       -6x^5 & +15x^4 & +18x^3 &  -9x^2 &      &     \\<br /><br />    \end{array}<br /><br />

hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los productos parciales, según las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:

<br /><br />    \begin{array}{rrrrrrrr}<br /><br />             &        &  -2x^3 &  +5x^2 &   +6x & -3 \\<br /><br />             &        & \times &   3x^2 &    +x & -4 \\<br /><br />       \hline<br /><br />             &        &   8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\<br /><br />             &   -2x^4&  +5x^3 &  +6x^2 &  -3x &     \\<br /><br />       -6x^5 & +15x^4 & +18x^3 &  -9x^2 &      &     \\<br /><br />       \hline<br /><br />       -6x^5 & +13x^4 & +31x^3 & -23x^2 & -27x & +12<br /><br />    \end{array}<br /><br />

este polinomio de 5º grado es el producto de P(x) de 3º grado y Q(x) de 2º grado.

División de polinomios

La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:

 P(x) \,  Q(x) \,
 R(x) \,  C(x) \,

tal que:

 P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,
dividendo = divisor × cociente + resto

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).

  • ejemplo:

veamos un ejemplo para:

 P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;

 Q(x)  = x^{2} - 2 \, x - 1 \;

que para la realización de la división representamos:

<br /><br />    \begin{array}{rl}<br /><br />       \begin{array}{rrrrr}<br /><br />           3x^4 & -2x^3 &  +4x^2 &  +2x &  -3 \\<br /><br />       \end{array}<br /><br />    &<br /><br />       \begin{array}{|rrr}<br /><br />           x^2 & -2x &  -1 \\<br /><br />          \hline<br /><br />       \end{array}<br /><br />    \end{array}<br /><br />

como resultado de la división finalizada:

<br /><br />    \begin{array}{rl}<br /><br />       \begin{array}{rrrrr}<br /><br />           3x^4 & -2x^3 &  +4x^2 &  +2x &  -3 \\<br /><br />          -3x^4 & +6x^3 &  +3x^2 &      &     \\<br /><br />          \hline<br /><br />              0 &  4x^3 &  +7x^2 &  +2x &  -3 \\<br /><br />                & -4x^3 &  +8x^2 &  +4x &     \\<br /><br />          \hline<br /><br />                &     0 &  15x^2 &  +6x &  -3 \\<br /><br />                &       & -15x^2 & +30x & +15 \\<br /><br />          \hline<br /><br />                &       &        & +36x & +12<br /><br />       \end{array}<br /><br />    &<br /><br />       \begin{array}{|rrr}<br /><br />           x^2 & -2x &  -1 \\<br /><br />          \hline<br /><br />          3x^2 & +4x & +15 \\<br /><br />          \, \\<br /><br />          \, \\<br /><br />          \, \\<br /><br />          \, \\<br /><br />          \,<br /><br />       \end{array}<br /><br />    \end{array}<br /><br />

http://www.youtube.com/watch?v=thtodf4hcvE

Teorema Del Resto: El resto R de la división de un polinomio P(x) por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo “x” por el opuesto de “a” (es decir, por − a). Formalmente puede expresarse como:

R = P( - a )\;

Por ejemplo, si

P(x) = 3 x^{4} - 5 x^{2} + 3 x - 20 \,

y el binomio divisor es

(x-2) \,

entonces el resto seráP( 2 )\,, y se obtiene el resto:

P(2) = 3 \times 16 - 5 \times 4 + 3 \times 2 - 20 = 14 \,

Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.


División de polinomios (REGLA DE RUFFINI)

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.( el polinomio divisor debe ser normalizado y de grado 1)

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:

(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)

  • Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
  • Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
  • Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independientemente del divisor.
  • Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

Ruffini

  • Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

Ruffini

  • Sumamos los dos coeficientes.

Ruffini

  • Repetimos el proceso anterior.

Ruffini

Volvemos a repetir el proceso.

Ruffini

Volvemos a repetir.

Ruffini

  • El último número obtenido, 56 , es el resto.
  • El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

Ejemplo

Dividir por la regla de Ruffini:

(x5 − 32) : (x − 2)

Ruffini

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16

R = 0 el resto no siempre es cero

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