Radicales

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y  a ; cuando a sea negativo el indice de la raiz n debe ser impar para que dicha raiz tenga como solucion un número real. La palabra radical deriva del vocablo latino «radix» que significa raiz, el número bajo el signo radical es el radicando que puede estar formado por números, letras o ambos; de la misma forma que el coeficiente de la raiz que esta ubicado justo delante del signo radical

Propiedades de la radicacion

Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.

= .

Ejemplo

= .

o bien:

 

La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores.

;

con n distinto de cero (0).

 

= =

  

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz la raíz del numerador entre la raíz del denominador

=

 

Ejemplo

=

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

=

Ejemplo

• =

para calcular la raiz de una raiz se multiplican los indices de las raices y se conserva la cantidad subradical

=   con n y m distintos de cero(0)

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Radicales Semejantes

Dos o mas radicales son semejantes cuando poseen el mismo radical o sea deben tener el mismo radicando e indice

 

son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo radicando, 2.

 y  
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.

 

 

tambien son semejantes  la raiz  cuadrada de 12 y 75

 

 

Más ejemplos de radicales semejantes:

 

 

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común

1-Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2-Luego de haber encontrado el m.c.m, dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

• Cuando un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
• Cuando un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
• Si el exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Operaciones con radicales

 Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando

Multiplicación de radicales

• Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

• Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

División de radicales

• Radicales del mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

• Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

 

Racionalizar

 Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1- Del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

2- Del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

3- Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que: «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados«.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

 

 

 Algunos apuntes de radicales

Ejercitacion Adicional

http://www.vitutor.com/di/re/r_e.html

Ejercicios radicales