Radicales

Un radical es una expresión de la forma radical, en la que n Pertenece Conjunto de los números naturales y  a Pertenece Erre ; cuando a sea negativo el indice de la raiz n debe ser impar para que dicha raiz tenga como solucion un número real. La palabra radical deriva del vocablo latino “radix” que significa raiz, el número bajo el signo radical es el radicando que puede estar formado por números, letras o ambos; de la misma forma que el coeficiente de la raiz que esta ubicado justo delante del signo radical

radical

radicales

Propiedades de la radicacion

Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.

\sqrt[n]{a} = \ a^{1/n}.
Ejemplo
\sqrt[4]{x^3} = \ x^{3/4}.

o bien:

 

radical

La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores.

\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};
con n distinto de cero (0).
 
\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4  = 12
  

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz la raíz del numerador entre la raíz del denominador

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

 

Ejemplo
\sqrt{\frac{9}{4}}  =  \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^9}}   =  \frac{x^{3/3}}{y^{9/3}} = \frac{x}{y^3}
Ejemplo
  • (\sqrt[4]{a^2})^8  =  (\ a^{2/4})^8 = \sqrt[4]{a^{16}}

para calcular la raiz de una raiz se multiplican los indices de las raices y se conserva la cantidad subradical

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}  con n y m distintos de cero(0)

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

índice

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

equivalente

Radicales Semejantes

Dos o mas radicales son semejantes cuando poseen el mismo radical o sea deben tener el mismo radicando e indice

 

 radicales semejantes


son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo radicando, 2.

Radicales y raíces y  Radicales y raíces
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.

 

Radicales y raíces

 

tambien son semejantes  la raiz  cuadrada de 12 y 75

 

Radicales y raíces

 

Más ejemplos de radicales semejantes:

 

Radicales y raíces

 

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

radicales

Reducción de radicales a índice común

1-Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2-Luego de haber encontrado el m.c.m, dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

común índice

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

  • Cuando un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
  • Cuando un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
  • Si el exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

extraer factores

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

introducción

 

Operaciones con radicales

 Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando

sumas

Multiplicación de radicales

  • Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

producto

producto

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

  • Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

producto

producto

División de radicales

  • Radicales del mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

cociente

cociente

  • Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

cociente

cociente

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

potencias

potencias

potencias

potencias

potencias

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

raíz de un radical

raíz de un radical

raíz de un radical

raíz de un radical

 

Racionalizar

 Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1- Del tipo cociente

Se multiplica el numerador y el denominador por raíz.

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones

2- Del tipo fracción

Se multiplica numerador y denominador por radical.

operaciones

operaciones

3- Del tipo cociente, y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

conjugados

También tenemos que tener en cuenta que: “suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados“.

suma por difeencia

Ejemplo 1

racionalizar

racionalizar

Ejemplo 2

racionalizar

racionalizar

Ejemplo 3

racionalizar

racionalizar

 

 

 Algunos apuntes de radicales

Ejercitacion Adicional

http://www.vitutor.com/di/re/r_e.html

Ejercicios radicales

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22 comentarios to “Radicales”

  1. Sofía Says:

    Profe ya entendí lo que es semejantes jajaja

  2. Nelson Perez Says:

    muy buena las explicaciones de la pagina.

  3. juli gutierrez Says:

    profee! esta buenisimo el blog… se entiende todo perfectamente, ya se de donde voy a estudiar :)

    nos vemos pronto

    saludos :)

  4. Sofía Says:

    MUCHA TEORIA PROFEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

  5. Sofía Says:

    Profe subradical es lo mismo que el radicando? Y no entiendo eso de reduccion de radicales a índice común, no entiendo ese ejemplo

  6. Andres Avido Says:

    esta teoria va a la prueba de mañana profe? me voy a morir!.

  7. Anita Says:

    Profe muy bueno el blog!! creo que entendí todo!!

  8. Sofía Says:

    PROFE, YA COPIÉ LA TEORIA PARA EMPEZAR A ESTUDIAR

  9. Sofía Says:

    TAMBIEN VA LO DE POTENCIA Y RAIZ DE UN RADICAL A LA PRUEBA?

  10. Sofía Says:

    La teoria de la prueba anterior que nos tomó tambien la va a aplicar a esta prueba o solamente va a poner ejercisios?

  11. mariana Says:

    profe en la prueba va a pedir teoria o solo practica?

  12. profeangelfigueroa Says:

    creo que te refieres a los radicales semejantes y equivalentes. no hay ninguna diferencia entre ellos

  13. bulacio Says:

    GRANDE PROFE KPO TOTAL!!!!

  14. cuarto B Says:

    profee las notas de las pruebas de 4to B en donde las podemos ver?

  15. Sofía Says:

    Profee, radicalizacion es facil pero mucho trabajo jajajja

  16. Sofía Says:

    Esta bueno trabajar con esta página, los videos son muy buenos, explican muy bien y todo lo que esta es muy entendible. Cada vez que tengo una duda entro y consulto, ya sea teoria o practica, y por suerte entiendo. Yo creo que hacer esta página para entender los contenidos que se dan en el colegio es una idea muy original, nunca antes había trabajado asi y la verdad que esta bueno pero algunas veces no puedo entrar siempre a la página, entonces no puedo consultar lo que no entiendo y me atraso con el tema, pero por suerte no me pasa muy seguido jaja. Estaria bueno que algunas veces se de mas teoria en clase para no estar entrando siempre a la pagina a ver y ya tener todo en la carpeta para poder estudiar directamente

  17. Sofía Says:

    PROFE A NUESTRAS NOTAS TAMBIEN LA VA A SUBIR A INTERNET?

  18. mariana paz Says:

    Profe los vídeos de racionalización están muy claros, se entienden todos. Lo que yo no entiendo es la agrupación en el denominador.. No hay algún vídeo sobre la agrupación?

  19. mariana paz Says:

    Profe en los videos nos enseñan de una diferente a la que nos enseño usted, yo puedo hacer como lo hizo en el video? te da el mismo resultado ya sea q lo haga como en el video o como nos enseño usted?

  20. Mariana Paz Says:

    Profe por que no actualizo la pagina y puso logaritmo?

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